【摘要】 凑微分法指的是把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。不定积分的求解一直是高等数学的重点，但由于其方法的灵活性以及结果的不确定性，又一直是高等数学的难点。文章发表在《中国高教研究》上，是教育论文发表范文，供同行参考。

　　【关键词】不定积分,凑微分, 换元积分法, 分部积分法, 医用高等数学

　　微积分是医用高等数学的基本和主要内容，在数学甚至是自然科学的发展阶段中有着不可磨灭的贡献，正如恩格斯所说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里”[1]。

　　作者在教学之余，曾关于不定积分的求解方法总结过一句口诀“原函数，结牛莱，凑微代换分部微元来，定于不定都交代”[2]。不定积分的常规求解方法主要包括直接积分法、换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法，其核心即——“凑微分”。

　　1 换元积分法中的“凑微分”

　　换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，其基本原理是：当〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗 不容易直接求出时，则将其转化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗 ，然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du (取φ(x)=u ) ，即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗 。其中的关键是第一步：将g(x) 拆分成f[φ(x)]φ′(x) ，这正是“凑微分”的核心。由于“凑微分”方法灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分公式并不能给同学们足够的启示，在讲解过程中我们将方法归结为“一拆、二靠、三转化”三步走，并且结合常见的不定积分公式求解，这样同学们掌握起来就比较容易了。

　　1.1 “拆”

　　遇到一个不定积分题目，首先看其能否直接拆分成若干个函数的乘积，若能，则挨个观察拆分成的函数能否凑微分，找出合适的进行凑微分求解。如：求解不定积分 〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析：观察到被积函数cosx2x 可以拆分成两个函数的乘积：cosx·12x ，并且12x 可以进行凑微分从而变成dx 。解：〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=sinx+C。

　　1.2 “靠”

　　若一个不定积分不能直接拆分成若干个函数的乘积或可以拆分成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。如：求解不定积分 〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析：通过观察此不定积分不能直接进行拆分，但其与不定积分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C 形式上接近，因此我们可以以此为目标去靠近。解：〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2dx〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。

　　2 分部积分法中的“凑微分”

　　分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式(主要是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数五类基本初等函数形式的乘积)的不定积分，主体内容可以概括为“一套公式、两个步骤、三种类型”：一套分部积分公式即：〖JF(Z〗u(x)dv(x)〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)du(x)〖JF)〗等价于 〖JF(Z〗u(x)v′(x)dx〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)u′(x)dx〖JF)〗两个基本步骤即：① 配微分，即将〖JF(Z〗f(x)dx〖JF)〗 变形为 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 ;② 代入分部积分公式求解、化简(可以重复使用)。

　　教育期刊投稿须知：《中国高教研究》是教育部主管、中国高等教育学会主办的学术理论性会刊，是全国唯一的国家一级高等教育学术理论刊物，是全国中文核心期刊，并于2001年12月经新闻出版署批准